Тема 2 Общие методы интегрирования


с. 1


.
Тема 2 Общие методы интегрирования

1 Вычислить методом замены переменной:

а) ; и) ;

б) ; к) ;

в) ; л) ;

г) ; м) ;

д) ; н) ;

е) ; о) ;

ж) ; п) .



2 Вычислить методом интегрирования по частям:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .


Примеры оформления решения

1 С помощью метода замены переменной найти интегралы:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; и) ;.

Решение. а) имеем:



.

б) имеем:



.

в) имеем:



.

г) имеем:



.

д) имеем:





.

е) имеем:





.

ж) имеем:





.

и) имеем:



.

2 Используя метод интегрирования по частям, вычислить следующие интегралы:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .



Решение. а) имеем:



.

б) имеем:







.

в) имеем:







.

г) имеем:









.

д) имеем:



.

Пусть . Тогда



.

Откуда .

е) имеем:



.

Отсюда


.

Выразим искомый интеграл



.

Тогда


.

Тема 3 Интегрирование рациональных функций
Вычислить интегралы:

а) ; ж) ;

б) ; и) ;

в) ; к) ;

г) ; л) ;

д) ; м) ;

е) ; н) .
Примеры оформления решения

1 Найти интегралы от рациональных функций:

а) ; г) ;

б) ; д) .

в) ;



Решение. а) выделим из неправильной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель

.

Разложим полученную в результате дробь на элементарные слагаемые:



.

Тогда


.

Приведем к общему знаменателю в правой части



.

Отсюда


Раскроем скобки в правой части и сгруппируем:



.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :



,

,

,

.

Отсюда , , , .

Следовательно,

.

Тогда


=

= =

;

б) подынтегральное выражение является неправильной рациональной дробью. Выделим целую часть подынтегральной функции:



Разложим на элементарные последнюю дробь:



.

Методом неопределенных коэффициентов, найдем неизвестные коэффициенты , , . Имеем



.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем:



Значит,


.

Подставляя полученное выражение в интеграл , получим





.

Тогда




;

в) подынтегральное выражение является правильной рациональной дробью. Разложим ее на элементарные дроби:



.

Используя метод частных значений, получим:



,

,

,

.

Тогда


.

Подставим в исходный интеграл







;

г) запишем исходный интеграл в виде:





.

Подынтегральное выражение в третьем слагаемом есть правильная рациональная дробь. Разложим ее на элементарные и найдем коэффициенты:



.

Подставим в интеграл и вычислим его









;

д) поскольку



,

то




.

Тогда


.
Тема 4 Интегрирование иррациональностей

1 Вычислить следующие интегралы:

а) ; ж ;

б) ; и) ;

в) ; к) ;

г) ; л) ;

д) ; м) ;

е) ; н) .

2 Выразить через функции Si(x), li(x), Ф0(x) и элементарные функции интегралы:

а) ; в) ;

б) ; г) .
Примеры оформления решения

1 Вычислить следующие неопределенные интегралы:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; и) .

Решение. а) имеем:



.

б) имеем:









.

в)



.

г) имеем:







;

д) имеем:











;

е) имеем:





= =

= =

= =

= ;

ж) имеем:



;

и) имеем:



.

2 Выразить через функции , и элементарные функции интегралы:

а) , ; б) .



Решение. а) имеем:

;

б) имеем: = =

= .
Тема 5 Интегрирование трансцендентных функций

1 Найти интегралы:

а) ; м) ;

б) ; н) ;

в) ; о) ;

г) ; п) ;

д) ; р) ;

е) ; с) ;

ж) ; т) ;

и) ; у) ;

к) ; ф) ;

л) ; х) .
Примеры оформления решения

Найти интегралы:

а) ; е) ;

б) ж) ;

в) ; и) ;

г) ; к) .

д) ;

Решение. а) подынтегральная функция рационально зависит от и . Применяя универсальную тригонометрическую подстановку , получим:





;

б) подынтегральная функция является нечетной относительно . Поэтому применяем подстановку . Тогда получим





;

в) имеем: ;

г) имеем:



;

д) имеем:




с. 1

скачать файл